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Descarga de un capacitor

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Descarga de un capacitor

Mensaje por Admin el Miér Jun 19, 2013 1:44 am

Descarga de un capacitor

Considerese el circuito de la siguiente figura que consta de un capacitor con una carga inicial Q, una resistencia y un interruptor. Cuando el interruptor está abierto (parte a), existe una diferencia de potencial Q / C a través del capacitor y una diferencia de potencial cero a traves de la resistencia ya que I = 0. Si el interruptor se cierra al tiempo t = 0, el capacitor comienza a descargarse a traves de la reisistencia. En algún tiempo durante ladescarga, la corriente en el circuito es I y la carga del capacitor es q (parte b) .
De la segunda Ley de Kirchhoff, se ve que la caída de potencial a traves de la resistencia, IR, debe ser igual a la diferencia de potencial a través del capacitor, q / C:
IR = q
c


Sin embargo, la corriente en el circuito debe ser igual a la rapidez de decrecimiento de la carga en el capacitor. Es decir, I = - dq/ dt, así la ecuación IR = q/c viene a dar :
- R dq = q
dt c
dq = - 1 dt
q RC

Integrando esta expresión y utilizando el hecho de que q= Q para t = 0 se obtiene:


 Diferenciando la última ecuación con respecto al tiempo se tiene la corriente como función del tiempo:

 


donde la corriente inicial Io = Q/RC. Por lo tanto, se ve que la carga del capacitor y la corriente decaen exponencialmente a una rapidez caracterizada porla constante de tiempo
τ = RC.

Gráfica para el circuito

 


 

Corriente i y carga del capacitor q como funciones del tiempo para el circuito. La corriente Io y la carga inicial Qo: tanto i como q se acercan asintóticamente a cero.
Ejemplos. Descarga de un capacitor en un circuito RC
1) Considerese el capacitor C descargandose a traves de la resistencia R como muestra la figura. a) Después de cuántas constantes de tiempo la carga en el capacitor será la cuarta parte de su valor inicial?


 

 

Solución: La carga en el capacitor varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación
q(t) = Qe-t/RC
donde q es la carga inicial en el capacitor. Para determinar el tiempo que tomaría la carga en caer hasta una cuarta parte de su valor inicial, se sustituye q 8t) = Q / 4 en esta expresión y se despeja para t:
¼ Q = Qe-t/RC
o
¼ = e-t/RC

Tomando logaritmos de ambos lados, se encuentra que :
-ln4 = -t / RC
o
t= RCln4 = 1.39 RC
b) La energía almacenada en el capacitor decrece con el tiempo cuando está descargando. ¿ Después de cuántas constantes de tiempo la energía almacenada se reduciría la cuarta parte de su valor inicial?
Solución: Utilizando las ecuaciones se puede expresar la energía almacenada en el capacitor en cualquier tiempo :
U = q2 = Q2 e-2t/RC = Uo e-2t/RC
2C 2C
donde Uo es la energía inicial almacenada en el capacitor como en el inciso a), ahora considerese U = Uo /4 y despejes t:
1/4Uo = Uo e-2t/RC
¼ = e-2t/RC
Nuevamente, tomando logaritmos de ambos lados y despejando t se obtiene:
t = ½ RC ln4 = 0. 693 RC
2) Un capacitor C se descarga a través de un resistor R. a) ¿ Después de cuantas constantes de tiempo disminuye su carga a la mitad de su valor inicial? b) ¿ Después de cuántas constantes de tiempo, la energía almacenada disminuye su valor inicial?
Solución: a) La carga en el capacitor varía de acuerdo con la ecuación
q(t) = Qe-t/RC
1/2Q = Qe-t/RC
-ln2 = -2/ τ C
t = τ C ln2 / 2 = 0.35
La carga cae a la mitad de su valor inicial después de 0.69 constantes de tiempo.
b) La energía del capacitor es
U = q2 = Q2 e-2t/RC = Uo e-2t/RC
2C 2C
1/2Uo = Uo e-2t/RC
-ln 2 = -2t/ τ C
t = τ C ln2/2 = 0.35 τ C
La energía almacenada cae a la mitad de su valor inicial después de transcurridas 0.35 constantes de tiempo. Esto sigue
siendo así dependientemente de cuál haya sido la energía almacenada inicialmente. El tiempo ( 0.69 τ C) necesario para que la carga caiga a la mitad de su valor inicial es mayor que el tiempo (0.35 τ C) necesario para que la energía siga a la mitad de su valor inicial.
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